logicas matematicas

1.1 PROPOSICIONESLa proposición se define como una oración declarativa que puede ser verdadera o falsa.Los elementos fundamentales de la lógica son las proposiciones. Por ello, las oraciones que no son ni falsas ni verdaderas, las que son verdaderas y falsas al mismo tiempo, o las que demuestran imprecisión (carecen de sentido). Ejemplo :ÜLava el auto por favor.Hola, ¿cómo estás?¡Apúrate!X + 5 = 9¡Mañana se acabará el mundo!Oraciones que son proposiciones5 es un número primo.-17 + 38 =21.Todos los números enteros son positivos.Vicente Rocafuerte fue Presidente del Ecuador.Proposiciones simples y compuestas.Proposiciones simples son aquellas que no poseen operador lógico.Las proposiciones compuestas son aquellas que están formadas por otras proposiciones y operadores lógicos.


1.2 VALOR DE VERDADEl valor de verdad de una proposición es la cualidad de veracidad que describe adecuadamente la proposición. Éste puede ser verdadero o falso.1.3 TABLA DE VERDADUna tabla de verdad es una representación de los posibles valores de verdad que podría tomar una proposición.Las tablas sirven para mostrar una representación de los posibles valores, las relaciones y los resultados posibles al realizar operaciones lógicas.

1.4 OPERADORES LÓGICOS

•NegaciónLa negación se representa con los términos gramaticales: “no”, “ni”, “no es verdad que”, “no es cierto que”.

•ConjunciónLa conjunción copulativa se representa con los términos gramaticales: “y”, “pero”, “mas”, y signos de puntuación como: la coma, el punto, el punto y coma.

•DisyunciónEn español se representa con el término gramatical: “o”. Cuyo valor de verdad está dado por la siguiente tabla de verdad:

•CondicionalExisten 2 partes: el antecedente y el consecuente; la proposición resultante será falsa sólo cuando el valor de verdad del antecedente sea verdadero y el valor del consecuente sea falso.

2.TEORÍA DE CONJUNTOS

2.1 CONJUNTO
Un conjunto es una colección, reunión o agrupación de objetos que poseen una característica o propiedad común bien definida.

Ejemplo:
*Los números enteros
*Los habitantes de la luna
*Los animales en extinción
*Los números primos
*Los operadores de telefonía celular

2.2 DESCRIPCIÓN DE CONJUNTOS
Por COMPRENSIÓN:
A= [x/x es consonante de la palabra amistad]
Por EXTENSIÓN o TABULACIÓN:
A= [d, m, s, t]
Por DIAGRAMAS DE VENN:




Para algunas operaciones que se realizan entre conjuntos, es de mucha utilidad conocer la cantidad de elementos que posee el conjunto. Dicha cantidad recibe el nombre de Cardinalidad, la cual se define a continuación.

2.3 CARDINALIDAD
Es la cantidad de elementos de un conjunto. Se denota por el símbolo N (A).

2.4 CONJUNTOS RELEVANTES
Conjunto VACÍO:
A= {x/x es un número par e impar a la vez]
Conjunto UNITARIO:
A= {*]
Conjunto FINITO:
A= {x/x es número entero]
Conjunto INFINITO:
A= [x/x es número entero]
Conjunto REFERENCIAL o UNIVERSO:
A= {x/X es una letra del alfabeto español}

2.5 CONJUNTO POTENCIA
Dado un conjunto A, su conjunto potencia es aquel que está formado por todos los subconjuntos posibles de A. El símbolo que se utiliza para este conjunto es P(A).

2.6 CUANTIFICADORES
Cuantificador Universal
Cualquier expresión de la forma: “para todo”, “todo”, “para cada”, “cada”, constituye en el lenguaje formal un cuantificador universal.

Cuantificador Existencial
Cualquier expresión de la forma: “existe”, “algún”, “algunos”, “por lo menos uno”, “basta que uno”, constituye en el lenguaje formal un cuantificador existencial.

2.7 RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

IGUALDAD
Dos conjuntos A y B son iguales si y sólo si tienen los mismos elementos. Es decir, ambos conjuntos se contienen mutuamente.

CONJUNTOS DISJUNTOS E INTERSECANTES
Los conjuntos A y B son DISJUNTOS si y sólo si A y B no tienen elementos en común. Los conjuntos A y B son INTERSECANTES si y sólo si A y B tienen al menos un elemento en común.

2.8 OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

Unión
La unión entre los conjuntos A y B es un nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B.

Intersección
La intersección entre los conjuntos A y B es un nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A y al conjunto B.




Diferencia
La diferencia entre los conjuntos A y B es un nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A, pero no pertenecen al conjunto B.




Diferencia simétrica
La diferencia simétrica entre los conjuntos A y B es un nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen o al conjunto A o al conjunto B.

Complementación
La complementación de un conjunto formado por los elementos del referencial que no pertenecen al conjunto A.






2.9 PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

Las operaciones entre conjuntos y algunas de sus más importantes propiedades se incluyen en las denominadas Leyes del Álgebra de Conjuntos.

Estas propiedades pueden ser demostradas usando las propiedades del álgebra de proposiciones.


2.10 PREDICADOS

Son expresiones en términos de una variable que al ser reemplazadas por los elementos del referencial, se convierten en proposiciones.

La notación para los predicados será: p(x), q(x), r(x), etc.

GEOMETRIA ANALITICA

3.1 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
A partir del concepto de un punto como una pareja ordenada P(x, y), si se conocen las coordenadas de dos puntos, se puede determinar la distancia entre ellos.

En un plano traza dos rectas perpendiculares (ejes) —que por convenio se trazan de manera que una de ellas sea horizontal y la otra vertical—, y cada punto del plano queda unívocamente determinado por las distancias de dicho punto a cada uno de los ejes, siempre y cuando se dé también un criterio para determinar sobre qué semiplano determinado por cada una de las rectas hay que tomar esa distancia, criterio que viene dado por un signo. Ese par de números, las coordenadas, quedará representado por un par ordenado (x,y), siendo x la distancia a uno de los ejes (por convenio será la distancia al eje vertical) e y la distancia al otro eje (al horizontal).

En la coordenada x, el signo positivo (que suele omitirse) significa que la distancia se toma hacia la derecha del eje horizontal (eje de las abscisas), y el signo negativo (nunca se omite) indica que la distancia se toma hacia la izquierda. Para la coordenada y, el signo positivo (también se suele omitir) indica que la distancia se toma hacia arriba del eje vertical (eje de ordenadas), tomándose hacia abajo si el signo es negativo (tampoco se omite nunca en este caso). A la coordenada x se la suele denominar abscisa del punto, mientras que a la y se la denomina ordenada del punto.
Los puntos del eje de abscisas tienen por lo tanto ordenada igual a 0, así que serán de la forma (x,0), mientras que los del eje de ordenadas tendrán abscisa igual a 0, por lo que serán de la forma (0,y).

El punto donde ambos ejes se cruzan tendrá por lo tanto distancia 0 a cada uno de los ejes, luego su abscisa será 0 y su ordenada también será 0. A este punto —el (0,0)— se le denomina origen de coordenadas.

Una recta es el lugar geométrico de todos los puntos en el plano tales que, tomados dos cualesquiera de ellos, el cálculo de la pendiente resulta siempre igual a una constante.
La ecuación general de la recta es de la forma:

Ax+By+C=0

Cuya pendiente es m = -A/B y cuya ordenada al origen es b = -C/B.

Una recta en el plano se representa con la función polinómica de primer grado de la forma:

y=mx+b

Como expresión general, Esta es conocida como ecuación pendiente-ordenada al origen y podemos distinguir dos casos particulares. Si una recta no corta a uno de los ejes, será porque es paralela a él. Como los dos ejes son perpendiculares, si no corta a uno de ellos forzosamente ha de cortar al otro (siempre y cuando la función sea continua para todos los reales). Tenemos pues tres casos:

Rectas horizontales:

Rectas oblicuas:

Rectas verticales:

Rectas verticales: estas rectas no cortan al eje de ordenadas y son paralelas a dicho eje y se denominan rectas verticales. El punto de corte con el eje de abscisas es el punto (x0,0). La ecuación de dichas rectas es:

x=xo

Rectas horizontales, estar rectas no cortan al eje de las abscisas y, por tanto, son paralelas a dicho eje y se denominan rectas horizontales. El punto de corte con el eje de ordenadas es el punto (0,y0). La ecuación de dichas rectas es:

y=yo

Rectas oblicuas. Cualquier otro tipo de recta recibe el nombre de recta oblicua. En ellas hay un punto de corte con el eje de abscisas (a,0) y otro punto de corte con el eje de ordenadas (0,b). El valor a recibe el nombre de abscisa en el origen, mientras que el b se denomina ordenada en el origen.

CONICAS

4.1 SECCIONES CÓNICAS

En el libro “Cónicas”, de Apolonio de Perga, se estudian las figuras que pueden obtenerse al intersecar un bicono con diversos planos. Previo a este trabajo, existían estudios elementales sobre determinadas intersecciones de planos perpendiculares a las generatrices de un cono, obteniéndose circunferencias, elipses, parábolas o hipérbolas, según el ángulo superior del cono fuese agudo, recto u obtuso.




La importancia fundamental de las cónicas radica en su constante aparición en situaciones reales: La trayectoria que describe cualquier móvil que es lanzado con una cierta velocidad inicial, que no sea vertical, se puede considerar parábola. Esto no es realmente exacto, ya que la gravedad no es constante. En realidad, la curva es una eclipse que tiene uno de sus focos en el centro de la tierra.










4.2 CIRCUNFERENCIA

Conjunto de puntos en el plano cartesiano que se encuentran a una distancia fija r, de un punto fijo O(h, k). La distancia fija r es denominada longitud del radio y el punto fijo O (h, k), es el centro de la circunferencia. Si β = 90º la intersección del plano con la superficie cónica es una circunferencia.





4.3 PARÁBOLA
Se define también como el lugar geométrico de los puntos que equidistan de una recta (eje o directriz) y un punto fijo llamado foco.




4.4 ELIPSE
Una elipse es la curva cerrada que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría –con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución. Una elipse que gira alrededor de su eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado.






4.5 HIPÉRBOLA
Una hipérbola (del griego ὑπερβολή) es una sección cónica, una curva abierta de dos ramas obtenida al cortar un cono recto por un plano oblicuo al eje de simetría –con ángulo menor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.

DERIVADAS Y LÍMITES

En geometría, la derivada de una función en un punto representa el valor de la pendiente de la recta tangente en dicho punto. La pendiente está dada por la tangente del ángulo que forma la recta tangente a la curva (función) con el eje de las abcisas, en ese punto.

La derivada de una función mide el coeficiente de variación de dicha función. Es decir, provee una formulación matemática de la noción del coeficiente de cambio.
El coeficiente de cambio indica lo rápido que crece (o decrece) una función en un punto (razón de cambio promedio) respecto del eje de un plano cartesiano de dos dimensiones. Por ejemplo si tomamos la velocidad de algo, su coeficiente es la aceleración, la cual mide cuánto cambia la velocidad en un tiempo dado.

La derivada de la función en el punto marcado equivale a la pendiente de la recta tangente (la gráfica de la función está dibujada en negro; la tangente a la curva está dibujada en rojo).

5.1 CONCEPTOS Y APLICACIONES
El concepto de derivada es uno de los dos conceptos centrales del cálculo infinitesimal. El otro concepto es la "antiderivada" o integral; ambos están relacionados por el teorema fundamental del cálculo. A su vez, los dos conceptos centrales del cálculo están basados en el concepto de límite, el cual separa las matemáticas previas, como el Álgebra, la Trigonometría o la Geometría Analítica, del Cálculo. Quizá la derivada es el concepto más importante del Cálculo Infinitesimal.

La derivada es un concepto que tiene muchas aplicaciones. Se aplica en aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situación. Es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de Física, Química y Biología, o en ciencias sociales como la Economía y la Sociología. Por ejemplo, cuando se refiere a la gráfica de dos dimensiones de f, se considera la derivada como la pendiente de la recta tangente del gráfico en el punto x. Se puede aproximar la pendiente de esta tangente como el límite cuando la distancia entre los dos puntos que determinan una recta secante tiende a cero, es decir, se transforma la recta secante en una recta tangente. Con esta interpretación, pueden determinarse muchas propiedades geométricas de los gráficos de funciones, tales como concavidad o convexidad.

Algunas funciones no tienen derivada en todos o en alguno de sus puntos. Por ejemplo, una función no tiene derivada en los puntos en que se tiene una tangente vertical, una discontinuidad o un punto anguloso. Afortunadamente, gran cantidad de las funciones que se consideran en las aplicaciones son continuas y su gráfica es una curva suave, por lo que es susceptible de derivación.

Las funciones que son diferenciables (derivables si se habla en una sola variable), son aproximables linealmente.

5.2INTRODUCCIÓN GEOMÉTRICA A LAS DERIVADAS
Es importante entender qué es una función matemática para hablar de derivadas. Una ecuación que relaciona dos variables,puede entenderse como una función. Notar que dos valores diferentes pueden apuntar a un mismo valor sin contradecir la definición dada de función. La correspondencia entre estas dos variables se puede abstraer mediante parejas.Tales parejas se pueden interpretar como puntos geométricos en un plano cartesiano de manera que, al graficar muchos puntos, se obtiene un dibujo que representa la función.

A DE UN

A FUNCIÓN
La derivada de una función es otra función que se obtiene mediante las bien definidas reglas de derivación, es decir, de forma completamente mecánica.

La nueva gráfica del plano cartesiano definida por esta nueva función (la derivada) y obtenida de una función original, representa la velocidad con que la función original crece o decrece en cada punto. Esta velocidad de crecimiento o decrecimiento viene definida por la pendiente del punto tratado. Es evidente que con un solo punto dibujado en la grafica no puede apreciarse pendiente alguna, pero al dibujar varios puntos lo más contiguos posibles (a partir de la función derivada), y uniéndolos mediante una línea, la idea de pendiente queda visualizada.

En la gráfica de una función derivada, la pendiente representa la rapidez con que cambia la función original en cada punto. Si la pendiente es muy grande, entonces la función original en ese punto crece muy deprisa; si la pendiente es muy pequeña, entonces la función original crece muy despacio en ese punto.

En términos geométricos, esta pendiente es "la inclinación" de la línea recta que pasa justo por encima del punto que evalúa la derivada .La línea recta anterior podemos dibujarla sobre el plano cartesiano que contiene la gráfica de la función sobre un punto determinado de la gráfica para representarla. Esta línea recta que pasa justo por encima del punto tiene la inclinación guiada por los puntos contiguos generados por los valores obtenidos de la función derivada. Al darle muchos valores al azar a la variable, conseguimos que la función derivada nos vaya devolviendo los puntos que representan dicha linea recta, con su correspondiente pendiente para ese punto.

Derivar una función no es en absoluto complicado si se saben utilizar las reglas de derivación desarrolladas por Gottfried Leibniz e Isaac Newton. Dichas reglas son fruto de un concienzudo esfuerzo puramente lógico. Se puede comparar el proceso que lleva a una regla de derivación al proceso utilizado para obtener la famosa solución que resuelve las ecuaciones de segundo grado de forma automática, y que está descrito en la mayoría de libros de texto. Se requiere un poco de práctica para aplicar correctamente la reglas de derivación sin caer en errores elementales.

5.3LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
El límite de una función es un concepto fundamental del cálculo diferencial matemático.
Informalmente, el hecho que una función f tiene un límite L en el punto p, significa que el valor de f puede ser tan cercano a L como se desee, tomando puntos suficientemente cercanos a p, pero distintos de p.

Límites y Continuidad

Límite de una función en un punto. Propiedades.

Límites en el infinito. Asíntotas de una curva.

Cálculo de límites.

Función continua en un punto y en un intervalo.

Operaciones con funciones continuas.

Discontinuidades.

El Teorema del valor medio de Bolzano y el teorema de existencia de extremos absolutos de Weierstrass.

5.4 Objetivos Mínimos
Conocer los conceptos de límite de una función en un punto (tanto finito como infinito) y de límite en el ±. Saber calcular límites de cocientes de polinomios. Saber determinar las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de una función. Conocer el concepto de límite lateral y su relación con el de límite. Conocer las propiedades algebraicas del cálculo de límites, los tipos principales de indeterminación que pueden darse y las técnicas para resolverlas. Conocer el concepto de continuidad de una función en un punto, incluida la continuidad lateral, y, como consecuencias elementales, la conservación del signo y la acotación de la función en un entorno del punto.

Saber donde son continuas las funciones elementales. Conocer los distintos comportamientos de discontinuidad que pueden aparecer y saber reconocerlos usando los límites laterales. Saber determinar la continuidad de las funciones definidas a trozos.

5.5 Límite de una función en un punto.

Propiedades

A) LIMITE EN UN PUNTO.

A1) Límite finito: Se dice que la función y = f(x) tiene por límite l cuando x tiende hacia a, y se representa por (Es decir, que si fijamos un entorno de l de radio , podemos encontrar un entorno de a de radio , que depende de , de modo que para cualquier valor de x que esté en el entorno E(a,) exceptuando el propio a, se tiene que su imagen f(a) está en el entorno E(l,).)

A2) Límite infinito: (A partir de ahora usaremos la notación matemática para hacer más corta la definición).

B) PROPIEDADES DE LOS LÍMITES.

B1) siempre que no aparezca la indeterminación .

B2) con .

B3) siempre y cuando no aparezca la indeterminación .

B4) siempre y cuando no aparezcan las indeterminaciones e .

B5) con , siempre y cuando tengan sentido las potencias que aparecen.

B6) siempre y cuando tengan sentido las potencias que aparecen y no nos encontremos con indeterminaciones de los tipos .

C) LIMITES LATERALES.

C1) Límite por la izquierda:

C2) Límite por la derecha:


2. Límites en el infinito. Asíntotas de una curva. A) LIMITES EN EL INFINITO.

A1) Límite finito.

A2) Límite infinito.

Todo lo referente a las propiedades de los límites vistas en la pregunta anterior es válido si escribimos en lugar de a. Hay casos que parecen indeterminaciones y no lo son realmente.

B) ASÍNTOTAS DE UNA CURVA.

B1) Asíntotas verticales. Se dice que y = f(x) tiene una asíntota vertical en x=a si o alguno (o ambos) de los límites laterales vale . Es decir, puede haber asíntota vertical por la derecha, por la izquierda o por ambos lados. La posición de la curva respecto a la asíntota dependerá del signo de los límites laterales. Como ejemplo, determinar la asíntota vertical y su posición con respecto a la gráfica de la función

B2) Asíntotas horizontales. Se dice que y = f(x) tiene una asíntota horizontal en y=b si . La asíntota puede aparecer cuando La posición de la gráfica de la función respecto a la asíntota vertical se determina estudiando si el signo de f(x) - b es positivo o negativo cuando . Como ejemplo, determinar la asíntota horizontal y su posición con respecto a la gráfica de la función

B3) Asíntotas oblicuas. Dada la función y = f(x), si se verifica que

a) b) c) entonces se dice que y = mx + h es una asíntota oblicua de dicha función para . La asíntota puede aparecer cuando Para estudiar la posición de la gráfica de la función con respecto a la asíntota basta estudiar el signo de f(x)-(mx + h). Como ejemplo, determinar la asíntota oblicua y su posición con respecto a la gráfica de la función

3. Cálculo de límites. A) INDETERMINACIÓN En la mayoría de los casos basta con efectuar las operaciones indicadas. Ejemplo.-

En otros casos, sobre todo en aquellos en que aparecen radicales, basta con multiplicar y dividir por la expresión radical conjugada. Ejemplo.-

B) INDETERMINACIÓN En la mayoría de los casos basta con efectuar las operaciones indicadas. Ejemplo.-

C) INDETERMINACIÓN Cuando solo aparecen funciones racionales, basta con descomponer factorialmente el numerador y el denominador. Ejemplo.-

En aquellos casos en que aparecen funciones irracionales (radicales), basta con multiplicar y dividir por la expresión radical conjugada. Ejemplo.-

D) INDETERMINACIÓN En la mayoría de los casos basta con dividir el numerador y denominador por la mayor potencia de x del denominador. Ejemplos.-

E) INDETERMINACIONES - - Para determinar estos límites tendremos en cuenta que:

de donde resulta que:

pudiendo aparecer otras indeterminaciones, que resolveremos por los métodos anteriores o por métodos que aprenderemos en temas posteriores.